Sfäriska koordinater

Fil:Spherical-system.svg

Sfäriskt koordinatsystem med den konvention med avseende på θ och φ som är vanligast inom matematiken

Sfäriska koordinater används i en form av tredimensionella koordinatsystem för att bestämma en punkts position med ett avstånd och två vinklar. Koordinaterna betecknas vanligen med r, φ och θ där

• r ≥ 0 är avståndet från origo till punkten. Detta avstånd kallas även för radie.

• 0 ≤ φ ≤ π är vinkeln mellan den positiva z-axeln och linjen från origo till punkten. Denna vinkel kallas ofta kolatitud.

• 0 ≤ θ < 2π är vinkeln mellan den positiva x-axeln och en linje genom origo och projektionen av punkten på xy-planet. Denna vinkel kallas ofta longitud.

Omvandlingen från kartesiska till sfäriska koordinater sker genom

<math>r=\sqrt{x^2+y^2+z^2}</math>

<math>\varphi= \mbox{arccos}\,\frac{z}{r}</math>

<math>\theta = \mbox{arctan}\,\frac{y}{x}</math>

och omvandlingen från sfäriska koordinater till kartesiska görs enligt

<math>x=r \, \sin\varphi \, \cos\theta</math>

<math>y=r \, \sin\varphi \, \sin\theta</math>

<math>z=r \, \cos\varphi</math>

Inom fysiken är beteckningarna ofta de motsatta, så att θ är kolatitud och φ longitud.

Tillämpningar

Fil:Bosch 36W column loudspeaker polar pattern.png

Det frekvensberoende strålningsmönstret för en högtalare visat med hjälp av sfäriska koordinater för sex olika frekvenser

Tredimensionell modellering av högtalare används för att förutsäga högtalarnas beteenden. Ett antal sfäriska grafer över ett stort frekvensområde behövs då strålningsegenskaperna är starkt beroende av frekvensen. Sfäriska grafer visar åskådligt hur en högtalare tenderar att bli rundstrålande vid låga frekvenser.

Sfäriska koordinatsystem är också vanliga för utveckling av 3D-spel, till exempel för att rotera "kameran" kring spelarens position.

Generaliserade sfäriska koordinater

Sfäriska koordinater kan generaliseras till n dimensioner:

<math>

\begin{align} x_1 & =r\cos(\phi_1)\\ x_2 & =r\sin(\phi_1)\cos(\phi_2)\\ x_3 & =r\sin(\phi_1)\sin(\phi_2)\cos(\phi_3)\\ & {}\,\,\, \vdots\\ x_{n-1} & =r\sin(\phi_1)\cdots\sin(\phi_{n-2})\cos(\phi_{n-1})\\ x_n & =r\sin(\phi_1)\cdots\sin(\phi_{n-2})\sin(\phi_{n-1}) \end{align} </math>

Vinklarna kan beräknas från

<math>

\begin{align} \tan(\phi_{n-1}) & =\frac{x_{n}}{x_{n-1}} \\ \tan(\phi_{n-2})& =\frac{\sqrt{{x_n}^2+{x_{n-1}}^2}}{x_{n-2}} \\ & {}\,\,\,\vdots\\ \tan(\phi_1) & =\frac{\sqrt{{x_n}^2+{x_{n-1}}^2+\cdots+{x_2}^2}}{x_{1}} \end{align} </math>

Genom omnumrering erhålls ett rekursivt schema för koordinaterna:

<math>

\begin{align} x_n & =r\cos(\phi_{n-1})\\ x_{n-1} & =r\sin(\phi_{n-1})\cos(\phi_{n-2})\\ x_{n-2} & =r\sin(\phi_{n-1})\sin(\phi_{n-2})\cos(\phi_{n-3})\\ & {}\,\,\, \vdots\\ x_{2} & =r\sin(\phi_{n-1})\cdots\sin(\phi_{2})\cos(\phi_{1})\\ x_1 & =r\sin(\phi_{n-1})\cdots\sin(\phi_{2})\sin(\phi_{1}) \end{align} </math>

Vinklarna kan då beräknas genom

<math>

||\vec L_k||=\sgn(x_k)\sqrt{x_k^2+||\vec L_{k-1}||^2}=\frac{x_k}{||x_k||}\sqrt{x_k^2+||\vec L_{k-1}||^2} </math> och med <math>||\vec L_0||=0</math> erhålls

<math>

\tan(\phi_k)=\frac{\sqrt{x_k^2+||\vec L_{k-1}||^2}}{x_{k+1}}=\frac{||\vec L_k||}{x_{k+1}} </math> och där längdkoordinaten är

<math>r=||\vec L_n||</math>

Exempel

För n = 3 och med de gemensamma koordinataxlarna x, y, z gäller

<math>

\begin{align} x_3&=z= r\cos(\phi_{2})\\ x_2&=x= r\sin(\phi_{2})\cos(\phi_{1})\\ x_1&=y= r\sin(\phi_{2})\sin(\phi_{1})\\ \end{align} </math>

För vinklarna gäller då

<math>

\begin{align} \tan(\phi_{2})=\frac{||\vec L_2||}{x_{3}}&= \frac{\sqrt{x_2^2 + x_1^2} }{x_3} =\frac{\sqrt{x^2 + y^2} }{z} \\ \tan(\phi_{1})=\frac{||\vec L_1||}{x_{2}}&= \frac{\sqrt{x_1^2} }{x_2} =\frac{y }{x} \end{align} </math>