Jan Karlsson: 1 version importerades

2018-04-11T18:59:15Z

1 version importerades

← Äldre version	Versionen från 11 april 2018 kl. 18.59
(Ingen skillnad)

85.229.204.212: /* Generaliserade sfäriska koordinater */ syntaxfel, onödigt mall-prefix

2016-08-12T16:49:55Z

Generaliserade sfäriska koordinater: syntaxfel, onödigt mall-prefix

Ny sida

[[File:Spherical-system.svg|thumb|Sfäriskt koordinatsystem med den konvention med avseende på ''θ'' och ''φ'' som är vanligast inom matematiken]]

'''Sfäriska koordinater''' används i en form av tredimensionella koordinatsystem för att bestämma en punkts position med ett avstånd och två vinklar. Koordinaterna betecknas vanligen med ''r'', ''φ'' och ''θ'' där
*''r'' ≥ 0 är avståndet från [[origo]] till punkten. Detta avstånd kallas även för radie.

*0 ≤ ''φ'' ≤ π är vinkeln mellan den positiva ''z''-axeln och linjen från origo till punkten. Denna vinkel kallas ofta [[kolatitud]].

*0 ≤ ''θ'' < 2π är vinkeln mellan den positiva ''x''-axeln och en linje genom [[origo]] och projektionen av punkten på ''xy''-planet. Denna vinkel kallas ofta [[longitud]].

Omvandlingen från kartesiska till sfäriska koordinater sker genom
:<math>r=\sqrt{x^2+y^2+z^2}</math>
:<math>\varphi= \mbox{arccos}\,\frac{z}{r}</math>
:<math>\theta = \mbox{arctan}\,\frac{y}{x}</math>

och omvandlingen från sfäriska koordinater till kartesiska görs enligt
:<math>x=r \, \sin\varphi \, \cos\theta</math>
:<math>y=r \, \sin\varphi \, \sin\theta</math>
:<math>z=r \, \cos\varphi</math>

Inom [[fysik]]en är beteckningarna ofta de motsatta, så att ''θ'' är [[kolatitud]] och ''φ'' [[longitud]].

==Tillämpningar==
[[Image:Bosch 36W column loudspeaker polar pattern.png|thumb|Det frekvensberoende strålningsmönstret för en [[högtalare]] visat med hjälp av sfäriska koordinater för sex olika frekvenser]]
Tredimensionell modellering av [[högtalare]] används för att förutsäga högtalarnas beteenden. Ett antal sfäriska grafer över ett stort frekvensområde behövs då strålningsegenskaperna är starkt beroende av frekvensen. Sfäriska grafer visar åskådligt hur en högtalare tenderar att bli rundstrålande vid låga frekvenser.

Sfäriska koordinatsystem är också vanliga för utveckling av 3D-spel, till exempel för att rotera "kameran" kring spelarens position.

==Generaliserade sfäriska koordinater ==
Sfäriska koordinater kan generaliseras till ''n'' dimensioner:
:<math>
\begin{align}
x_1 & =r\cos(\phi_1)\\
x_2 & =r\sin(\phi_1)\cos(\phi_2)\\
x_3 & =r\sin(\phi_1)\sin(\phi_2)\cos(\phi_3)\\
& {}\,\,\, \vdots\\
x_{n-1} & =r\sin(\phi_1)\cdots\sin(\phi_{n-2})\cos(\phi_{n-1})\\
x_n & =r\sin(\phi_1)\cdots\sin(\phi_{n-2})\sin(\phi_{n-1})
\end{align}
</math>

Vinklarna kan beräknas från
:<math>
\begin{align}
\tan(\phi_{n-1}) & =\frac{x_{n}}{x_{n-1}} \\
\tan(\phi_{n-2})& =\frac{\sqrt{{x_n}^2+{x_{n-1}}^2}}{x_{n-2}} \\
& {}\,\,\,\vdots\\
\tan(\phi_1) & =\frac{\sqrt{{x_n}^2+{x_{n-1}}^2+\cdots+{x_2}^2}}{x_{1}}
\end{align}
</math>

Genom omnumrering erhålls ett [[rekursiv]]t schema för koordinaterna:
:<math>
\begin{align}
x_n & =r\cos(\phi_{n-1})\\
x_{n-1} & =r\sin(\phi_{n-1})\cos(\phi_{n-2})\\
x_{n-2} & =r\sin(\phi_{n-1})\sin(\phi_{n-2})\cos(\phi_{n-3})\\
& {}\,\,\, \vdots\\
x_{2} & =r\sin(\phi_{n-1})\cdots\sin(\phi_{2})\cos(\phi_{1})\\
x_1 & =r\sin(\phi_{n-1})\cdots\sin(\phi_{2})\sin(\phi_{1})
\end{align}
</math>

Vinklarna kan då beräknas genom
:<math>
||\vec L_k||=\sgn(x_k)\sqrt{x_k^2+||\vec L_{k-1}||^2}=\frac{x_k}{||x_k||}\sqrt{x_k^2+||\vec L_{k-1}||^2}
</math>
och med <math>||\vec L_0||=0</math> erhålls
:<math>
\tan(\phi_k)=\frac{\sqrt{x_k^2+||\vec L_{k-1}||^2}}{x_{k+1}}=\frac{||\vec L_k||}{x_{k+1}}
</math>
och där längdkoordinaten är
:<math>r=||\vec L_n||</math>

=== Exempel===
För ''n'' = 3 och med de gemensamma koordinataxlarna '''x, y, z''' gäller
:<math>
\begin{align}
x_3&=z= r\cos(\phi_{2})\\
x_2&=x= r\sin(\phi_{2})\cos(\phi_{1})\\
x_1&=y= r\sin(\phi_{2})\sin(\phi_{1})\\
\end{align}
</math>

För vinklarna gäller då
:<math>
\begin{align}
\tan(\phi_{2})=\frac{||\vec L_2||}{x_{3}}&= \frac{\sqrt{x_2^2 + x_1^2} }{x_3} =\frac{\sqrt{x^2 + y^2} }{z} \\
\tan(\phi_{1})=\frac{||\vec L_1||}{x_{2}}&= \frac{\sqrt{x_1^2} }{x_2} =\frac{y }{x}
\end{align}
</math>

{{koordinater}}
[[Kategori:Koordinatsystem]]

[[it:Sistema di riferimento#Il sistema sferico]]
[[fi:Koordinaatisto#Pallokoordinaatisto]]

Sfäriska koordinater - Versionshistorik

Jan Karlsson: 1 version importerades

85.229.204.212: /* Generaliserade sfäriska koordinater */ syntaxfel, onödigt mall-prefix